Dans cette vidéo, on va s'intéresser aux sinusoïdales !
Qu'est-ce qu'une fonction sinusoïdale ?
Une fonction sinusoïdale, c'est simplement une manipulation de la fonction sinus.
Les sinusoïdales sont très utilisées en physique pour représenter des phénomènes ondulatoires ! Dès qu'on veut étudier des ondes (des ondes sonores, des ondes électromagnétiques, des vagues ou n'importe quel type de propagation de proche en proche), ce sont les sinusoïdales que l'on utilise pour modéliser ces phénomènes !
La plupart du temps, avec ces fonctions, l'axe des "x" représente le temps et l'axe des "y" représentent la grandeur du signal.
Les sinusoidales ont plusieurs caractéristiques :
- L'amplitude
- La vitesse angulaire (ou pulsation)
- La période
- La fréquence
- La phase à l'origine
On va les pourcourir ensemble !
L'amplitude d'une onde (ou d'une sinusoidale)
Prenons l'opréation suivante :
A . sin(x)
Je manipule la fonction sinus en la multipliant par la lettre "A", qui est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur.
A représente l'amplitude, qui représente la grandeur du signal. Ça peut être interprété comme la grandeur maximale que peut prendre la fonction sinus.
On a vu que la fonction sinus, ça peut être interprété comme la projection du mouvement circulaire sur le cercle trigonométrique. D'une certaine manière, l'amplitude, ça peut être interprété comme le rayon du cercle sur lequel on défile.
La vitesse angulaire (ou la pulsation)
Prenons l'opréation suivante :
sin(w. x)
Je manipule la fonction sinus en multipliant son argument par la lettre "w", qui est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur.
La vitesse angulaire, souvent notée 'omega' ou 'w', ça peut être interprété comme la vitesse avec laquelle on défile le long du cercle trigonométrique.
Graphiquement, au plus une sinusoïdale est compressée horizontalement, au plus sa vitesse angulaire est grande.
Si "w" = 1, cela signifie que je défile sur le cercle trigonométrique avec une vitesse de 1 radian par seconde.
Si je veux faire une oscillation complète, ça va me prendre "deux pi secondes" parce que je dois faire "deux pi radians" pour faire le tour complet de mon cercle trigonométrique.
La période
La période, notée "T", est directement liée à la notion de vitesse angulaire. La période peut être interprété comme la durée d'une oscillation complète.
Pour reprendre l'exemple précédent, si ma vitesse angulaire "w" = 1, alors ma période, donc le temps que je prends pour faire un tour complet du cercle trigonométrique, soit uneoscillation complète, est de 2 pi secondes.
Il existe une formule qui relie la vitesse angulaire et la période :
Il y a même une formule qui relie les deux :
T = 2 pi / w
La fréquence
Une autre notion que l'on utilise souvent en physique, c'est la notion de fréquence.
La fréquence, notée "f", c'est l'inverse de la période. Voici donc sa formule :
f = 1 / T
La fréquence, ça correspond au nombre d'oscillations que l'on fait en une seconde sur le cercle trigonométrique.
Bien évidemment, on peut aussi trouver une formule qui relie la vitesse angulaire à la fréquence, la voici :
f = w / 2 pi
La phase à l'origine
Prenons l'opréation suivante :
sin(x) + φ
Je manipule la fonction sinus en multipliant son argument par la lettre grecque "φ" (phi), qui est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur.
Ce troisième paramètre, c'est ce que l'on appelle la phase à l'origine. Ce paramètre, il peut être interprété sur le cercle trigonométrique comme étant l'angle que l'on prend au départ avant de commencer le défilement sur le cercle trigonométrique.
Jouer avec les sinusoidales
Une sinusoïdale, on l'a vu, c'est une manipulation de la fonction sinus.
Toute sinusoïdale a donc la forme :
A.sin(w.x) + φ
Et on peut faire varier les paramètres A, w et φ autant que l'on veut ! On peut donc créer une infinité de sinusoidales !
Qu'est-ce qu'une cosinusoïdale ?
De la même manière qu'une sinusoïdale est une manipulation de la fonction sinus, une cosinusoïdale est une manipulation de la fonction cosinus, selon les paramètres
amplitude, vitesse angulaire et phase à l'origine.
La fonction cosinus et la fonction sinus, ce sont deux fonctions qui se ressemblent très fort. En effet, la fonction cosinus, c'est une fonction sinus avec un petit décalage horizontal. En réalité, la fonction cosinus, c'est une sinusoidale dont la phase à l'origine est égale à pi/2 ! Étonnant, non ?
Quand on parle de sinusoïdales, vous savez maintenant qu'on parle en fait aussi de cosinusoïdales, à une phase à l'origine de pi/2 près!
Les sinusoïdales et cosinusoïdales n'ont maintenant plus aucun secret pour vous!
On se retrouve donc dans le dernier chapitre de ce cours consacré aux formules trigonométriques ! À très vite!
