Arcsin, arccos et arctan
Dans les chapitres précédents, nous avons vu les trois fonctions trigonométriques de base, à savoir :
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux fonctions réciproques de ces trois fonctions de base, qui sont super utiles pour résoudre des équations trigonométriques !
Les trois fonctions réciproques sont :
- La fonction arcsinus (que l'on écrit souvent arcsin)
- La fonction arccosinus (que l'on écrit souvent arccos)
- La fonction arctangente (que l'on écrit souvent arctan ou arctg)
Une fonction réciproque, c'est quoi ?
Pour faire très simple, une fonction réciproque, c'est une fonction qui fait 'l'inverse' d'une fonction de base. Il est clair que cette définition est un petit peu simpliste (pour avoir la définition complète et détaillée, je vous recommande de suivre mon cours d'analyse), mais elle est suffisante pour comprendre le concept derrière les fonction arcsin, arccos et arctan.
Avant de s'attaquer aux fonction trigonométrique, prenons un exemple simple de fonction réciproque. Considérons la fonction f(x) = 2x. Cette fonction prend en entrée un "x" et renvoie le double, à savoir "2x". On pourrait appeler cette fonction 'la fonction double' qui multiplie tout par deux.
Par exemple:
- Si je lui donne 1 : elle me renvoie 2
- Si je lui donne 3 : elle me renvoie 6
Hé bien, la fonction réciproque de cette "fonction double", c'est la fonction moitié qui divise tout par deux : f(x) = x/2!
Par exemple ;
- Si je lui donne 2 : elle me renvoie 1
- Si je lui donne 6 : elle me renvoie 3
Si vous avez compris ça, vous avez déjà compris l'essentiel des fonctions réciproques. On peut maintenant s'attaquer aux fonctions trigonométriques !
Qu'est-ce que la fonction arcsin ?
Repartons d'une fonction que l'on connait maintenant bien : la fonction sinus.
Conceptuellement, la fonction sinus, elle convertit un angle (exprimé en radians) en valeur que prend le sinus sur le cercle trigonométrique.
Par exemple :
- Si je donne à la fonciton sin pi/6 radians, elle me renvoie la valeur 1/2
sin(pi/6) = 1/2
Logiquement, la fonction arcsinus, elle fait l'inverse! Elle convertit un valeur que prend le cercle trigonométrique en angle.
Par exemple :
- Si je donne à la fonction arcsinus la valeur 1/2, elle me renvoie pi/6 radians!
arcsin(1/2) = pi/6
Maintenant que l'on sait comment fonctionne conceptuellement la fonction arcsin on peut se pencher sur sa représentation graphique.
Comme vous pouvez le voir, la fonction arcsin est bien différente de la fonction sinus!
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Bien évidemment, cette explication est un petit peu simpliste. Pour les plus curieux, sachez que le domaine de définition de la fonction arcsin est restreint, par convention, sur l'intervalle -1, 1. Cet élément est absolument à prendre en compte lors de la résolution d'équations trigonométriques lorsque l'on désire trouver toutes les solutions des équations. Une bonne maitrise des angles associés est également requise pour résoudre des équations trigonométrique. Pour tout comprendre à ces détails plus avancés, rendez-vous sur mon cours complet de trigonométrie!
Qu'est-ce que la fonction arccos ?
Suivons le même raisonnement que pour la fonction arcsinus.
Repartons d'une fonction que l'on connait bien : la fonction cosinus.
Conceptuellement, la fonction cosinus, elle convertit un angle (exprimé en radians) en valeur que prend le cosinus sur le cercle trigonométrique (en regardant la projection sur l'axe horizontal).
Par exemple :
- Si je donne à la fonciton cos pi/3 radians, elle me renvoie la valeur 1/2
cos(pi/3) = 1/2
Logiquement, la fonction arccosinus, elle fait l'inverse! Elle convertit un valeur que prend le cercle trigonométrique en angle.
Par exemple :
- Si je donne à la fonction arccosinus la valeur 1/2, elle me renvoie pi/3 radians!
arccos(1/2) = pi/3
Maintenant que l'on sait comment fonctionne conceptuellement la fonction arccos on peut se pencher sur sa représentation graphique.
Ici aussi, la fonction arcos est bien différente de la fonction cosinus, mais ressemble assez fort à la fonction arcsin !
Ici encore, cette explication est un petit peu simpliste. Il faut savoir que le domaine de définition de la fonction arccin est restreint, par convention, sur l'intervalle -1, 1. Cet élément est absolument à prendre en compte lors de la résolution d'équations trigonométriques lorsque l'on désire trouver toutes les solutions des équations. Une bonne maitrise des angles associés est également requise pour résoudre des équations trigonométrique. Pour tout comprendre à ces détails plus avancés, rendez-vous sur mon cours complet de trigonométrie!
Qu'est-ce que la fonction arctan ?
Suivons le même raisonnement que pour la fonction arcsinus et arccosinu et partons de la fonction tangente que l'on connait bien.
Conceptuellement, la fonction tangente, elle convertit un angle (exprimé en radians) en valeur que prend la tangente sur le cercle trigonométrique (en regardant la projection sur l'axe vertical à l'extrimité droite du cercle).
Par exemple :
- Si je donne à la fonciton tan pi/4 radians, elle me renvoie la valeur 1
tan(pi/4) = 1
Logiquement, la fonction arctan, elle fait l'exact inverse! Elle convertit un valeur que prend le cercle trigonométrique en angle.
Par exemple :
- Si je donne à la fonction arccosinus la valeur 1, elle me renvoie pi/4 radians!
arctan(1) = pi/4
Maintenant que l'on sait comment fonctionne conceptuellement la fonction arccos on peut se pencher sur sa représentation graphique. Comme vous pouvez le constater, la fonction arctan (aussi notée arctg) est de forme complètement différente que toutes les fonctions trigonométrique que l'on a considéré pour l'instant. C'est en quelque sorte, la version 'horizontale' de la fonction tangente!
Une dernière fois ici, cette explication est un petit peu simpliste. Il faut savoir que l'ensemble image de la fonction arctan est restreint, par convention, sur l'intervalle -pi/2, pi/2. Cet élément est absolument à prendre en compte lors de la résolution d'équations trigonométriques lorsque l'on désire trouver toutes les solutions des équations. Une bonne maitrise des angles associés est également requise pour résoudre des équations trigonométriques. Pour tout comprendre à ces détails plus avancés, rendez-vous sur mon cours complet de trigonométrie!
C'est tout pour se chapitre! Vous savez maintenant ce que sont les fonction arcsinus, arccosinus et arctangente ! On se retrouve dans le prochain chapitre pour voir comment résoudre des équations trigonométriques à l'aide de ces notions.
À très vite!
