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Maintenant que l'on a vu que c'était des fonctions et on a vu ce que c'était des fonctions inverses, on peut enfin s'attaquer à la résolution d'équations qui contiennent des fonctions exponentielles. On va commencer avec les équations exponentielles, c'est à dire les équations qui contiennent des fonctions exponentielles. Avant de commencer à résoudre ces équations, il est intéressant de se poser la question "qu'est-ce que c'est une fonction exponentielle ?". On va commencer par s'intéresser à la forme algébrique de la fonction exponentielle. Une fonction exponentielle, c'est une fonction qui algébriquement s'écrit "F(x)= Ax". Donc c'est une fonction dans laquelle on retrouve une constante appelée "A". Et cette constante est mis à une certaine puissance. Et cette puissance là c'est "X", c'est la variable. Donc ici c'est un peu le cas général. C'est la forme de la fonction.Un exemple bien particulier de fonction, c'est par exemple "F(x) = 10x. Ici ma constante "A", je l'ai remplacé par "10". C'est une fonction exponentielle puisque c'est une fonction, on peut l'interpréter comme étant une sorte de machine.
Du coup, maintenant, on peut essayer de la représenter graphiquement et donc graphiquement. Pour voir la représentation graphique je vous conseille de suivre mon cours en format vidéo !
Ici, dans notre exemple, on a représenté une exponentielle de base dix. La constante ici, c'est dix. Ce n'est pas la seule exponentielle qui existe. Il existe des exponentielles de pleins d'autres bases différentes.Il existe des exponentielle de base onze, de base douze, de base cinq, de base 0,5. Il n'existe pas d'exponentielle de base "1", de base "0" et de base négative. Sinon on peut créer des exponentielles de toutes les autres bases.
On ne va pas commencer à faire des études de fonctions approfondies, des exponentielles, mais j'aimerais juste attirer votre attention sur une dernière exponentielle qui est assez particulière. C'est l'exponentielle "ex". C'est une constante, c'est un nombre. De la même manière que PI vaut 3,14. Ici, c'est un nombre qui vaut environ 2,718. Pour résumer, on a vu ce que c'était une fonction exponentielle. Une fonction exponentielle c'est une fonction qui est de la forme "F(x) = Ax". Elle est caractérisée par sa base.
Revenons maintenant à la représentation sous forme de machine de la fonction exponentielle. Donc ici on a notre fonction exponentielle "Ax" qui reçoit des "X" et qui renvoie des "Y". La fonction exponentielle a une fonction inverse, c'est-à-dire qu'il existe une fonction, qui, si on lui donne le "Y" de l'exponentielle, va renvoyer le "X". Cette fonction inverse que je vais appeler "G(x)". C'est une fonction logarithmique. C'est-à-dire que la fonction inverse d'une exponentielle de base "A", c'est "loga (x)". Imaginons qu'ici j'ai une fonction exponentielle qui soit "10X". Donc j'ai une fonction exponentielle de base "10". C'est une fonction pour laquelle si je lui donne "2", elle va me renvoyer "102" donc "100". La fonction logarithmique "log10 (x)" si je lui donne "100", elle va me renvoyer "2". J'ajoute une petite précision sur la notation un logarithme de base dix. Ça peut être réécrit comme étant "log (x) ou ln (x)". Donc ici on peut ne pas préciser le "10" mais seulement pour les logarithmes de base "10". Chaque fois, il faut préciser la base. Donc pour résumer, ici, on a vu qu'une fonction exponentielle, elle possède une fonction inverse et la fonction inverse d'une fonction exponentielle c'est une fonction logarithmique pour peu qu'il ait la même base.
Sachant cela, on va maintenant essayer de résoudre des équations exponentielles pour résoudre une équation exponentielle.Voici le mode opératoire à suivre. La première étape, ça va être d'isoler l'exponentielle. Et la deuxième étape, ça va être d'appliquer le logarithme de part et d'autre de l'équation pour faire disparaître cette exponentielle. On va explorer ici un exemple. Prenons l'équation exponentielle "4eX + 8 = 10". Ici, on a bien affaire à une équation. On a bien une expression algébrique dans laquelle on retrouve le signe "=" et la lettre "X" et on a bien une équation qui est exponentielle parce qu'ici on retrouve l'exponentielle (e). On va essayer ici de résoudre l'équation, c'est-à-dire de trouver la valeur de l'inconnue, le nombre mystère qui se cache derrière la lettre "X". La première chose que l'on va faire ici, c'est isoler l'exponentielle. Pour isoler l'exponentielle, ce que l'on va faire, c'est d'abord se débarrasser du "8". Ce qui me donne "4eX = 2". Et puis je vais me débarrasser du "4" qui est collé à l'exponentielle. Du coup, au final, ce que l'on obtient c'est "eX = 1/2". Nous nous sommes ramenés à une situation où l'exponentielle de "X" est isolée. Mais nous, c'est pas ça qu'on veut. Ce qu'on veut c'est isoler "X". Donc maintenant il est question de faire disparaître l'exponentielle de "X". Ce que l'on va devoir faire, c'est appliquer le logarithme de base sur l'exponentielle de "X". J'obtiens donc "X = ln (1/2). Donc si j'ai fait disparaître mon exponentielle, je me ramène ici à la situation où il y a "X" qui est isolé, parce que quand j'applique le logarithme sur ma fonction exponentielle ça l'annule et ça me permet d'isoler le "X".
Pour résumer ce que l'on a fait c'est qu'on a isolé d'abord l'exponentielle de "X" et ensuite on a appliqué le logarithme de la même base que l'exponentielle de part et d'autre de l'équation pour se ramener à une situation où "X" était isolé. Ça, c'était le mode opératoire pour résoudre une équation exponentielle. On va maintenant faire un deuxième exemple, on va résoudre une deuxième équation exponentielle un petit peu plus compliquée : "7*10(3X+1) - 4 = 0". Le raisonnement est exactement le même ici. Mon exponentielle c'est "10 (3X+1)". Ici cette exponentielle a une forme un petit peu plus compliquée. Et de nouveau, pour se débarrasser de cette exponentielle, il faudra aussi la mettre sous un logarithme. On va voir comment ça fonctionne tout de suite.
Premièrement, on va essayer d'isoler cette exponentielle. On va se débarrasser d'abord du "-4". Donc ici j'obtiens cette fois "7*10 (3X+1) = 4". Maintenant je veux me débarrasser du "7". J'obtiens donc " 10 (3X+1) = 4/7". Et maintenant mon exponentielle, elle est isolée. Pour faire disparaître mon exponentielle, je vais devoir appliquer le logarithmes. Ici c'est le logarithme de base "10" que je dois appliquer pour faire disparaitre cette exponentielle. Et du coup, je récupère "3X+1 = log (4/7)". Et puis maintenant, je n'ai plus qu'à isoler le "X", j'obtiens donc "X= log (4/7) -1/ 3". La démarche à retenir, c'est vraiment que pour se débarrasser de l'exponentielle, ce qu'il faut faire c'est appliquer le logarithme de part et d'autre de l'équation.
Et au final, quand on applique le logarithme, il y a l'exponentielle qui disparait, on ne récupère que l'exposant. C'est tout le concept des fonctions inverses qui est mis en application ici. Isolé l'exponentielle comme on l'a fait ici et comme on l'a fait dans l'exemple précédent, était relativement simple. Il a juste fallu se débarrasser du "4" et se débarrasser du "7". Mais parfois, isoler l'exponentielle, ce n'est pas si simple. Il faut utiliser certaines propriétés qu'ont les exponentielles pour se ramener à une situation où l'exponentielle peut être isolée.
On utilise les propriétés ci-dessus un peu de la même manière qu'on utilisait les identités remarquables. Ce sont des formules que l'on utilise pour se ramener à des expressions plus simples. Les propriétés qui sont affichées ci-dessus, ce sont des propriétés qui sont toutes démontrables. Mais pour comprendre en profondeur ces propriétés et leur démonstration, c'est plus un cours d'analyse qu'il faut faire et non pas un cours d'algèbre. Du coup, ici, on va juste se contenter de retenir ces formules par cœur.
