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On va s'intéresser aux fonctions. Les fonctions, c'est vraiment une notion qui est centrale en analyse. Une fonction, vous en avez probablement déjà entendu parler à l'école et vous les visualisez peut être comme une sorte d'expression algébrique. Par exemple : " F(x) = 4X2 + 3X - √X", est une fonction. C'est aussi possible que vous visualisez une fonction d'une autre manière. C'est possible que quand on vous parle de fonctions, ce à quoi vous pensez, c'est une courbe qui serait représentée sur un plan. Ça, c'est une autre manière de visualiser ce qu'est une fonction.
Je vais vous proposer une troisième manière de visualiser ce qu'est une fonction et cette troisième manière de visualiser ce qu'est une fonction va faire le lien entre la forme algébrique que peut prendre une fonction et la forme graphique que peut prendre une fonction. La troisième manière d'interpréter ce qu'est une fonction, c'est de considérer les fonctions comme des machines. Les fonctions, ça peut être interprété comme des machines qui reçoivent des "X" et qui renvoient des "Y". Qu'est ce que ça peut bien vouloir dire ? Je vais représenter ma fonction comme étant un rectangle rouge. Et ce rectangle rouge, ça va être ma machine, ma fonction. Cette fonction, elle va recevoir des "X" et renvoyer des "Y". Qu'est ce que ça veut dire recevoir des "X" et renvoyer des "Y" ? Ça peut être interprété comme des variables, c'est-à-dire des lettres qui peuvent représenter n'importe quel nombre. On va voir un petit peu ce que ça donne si on donne des nombres à cette machine. Admettons que ma machine donc ma fonction, je lui donne le nombre "1". Ce qu'elle va faire c'est qu'elle va avaler le nombre "1" et elle va le manipuler un petit peu et puis elle va me ressortir une autre valeur qui est ici en l'occurrence "2". Je vais essayer de donner un autre nombre à cette fonction. Qu'est ce qui se passe si je lui donne "2" ? Elle va prendre le "2", elle va le manipuler et au final, elle va me ressortir "4". Et pour terminer donnons lui le "7" et elle va nous renvoyer le "14". Après avoir donné trois nombres à cette fonction, on commence à comprendre quel est son fonctionnement interne.
Ce que cette fonction fait en l'occurrence dans cet exemple précis. C'est qu'elle multiplie chacun des nombres que je lui donne et elle me renvoie le double. On peut voir cette fonction comme une fonction qui a un certain mode d'emploi et elle suit ce mode d'emploi qui lui dit "dès que tu reçois une valeur, tu la doubles et tu la renvoies". Ce mode d'emploi, on peut l'exprimer d'une manière générale, on peut dire chaque fois que tu reçois un nombre, quel qu'il soit, et on va appeler ce nombre "X". Ce que tu fais, c'est tu vas le renvoyer au double, tu va donc renvoyer "2X" pour cette fonction précisément. On a donc vu qu'une fonction, ça peut être représenté comme une machine. Et le mode d'emploi de la machine, c'est l'expression algébrique de la fonction.
On peut représenter le mécanisme de cette fonction graphiquement, on va d'abord représenter un plan. On va tracer un axe horizontal que l'on va appeler "l'axe des X" et on peut tracer un axe vertical qu'on appellera "l'axe des Y". L'axe horizontal peut être interprété comme tout ce qui rentre dans la fonction et l'axe verticale peut être interprété comme tout ce qui sort de la fonction. On va maintenant essayer de représenter graphiquement le fonctionnement de cette fonction, en particulier "F(x) = 2X". Ce que l'on va faire, c'est indiquer sur ce plan tous les points, toutes les combinaisons de ce qui rentre dans la machine et ce qui en ressort. Par exemple c'est "1" qui rentre dans la machine et c'est "2" qui ressort, donc on va tracer le point qui fait le lien entre ce qui rentre et ce qui sort. (représentation sur l'image au dessus)
Pour résumer toutes les combinaisons, ce qui rentre dans la machine et ce qui en ressort peuvent être représentées sur un plan. Et si on relit tous les points de ce plan, on obtient la courbe qui représente la fonction. Ici en l'occurrence, si je relis tous ces points, j'obtiens une droite.
Donc "comment est-ce une fonction peut être représentée par une courbe ?" pour tout résumé depuis le début. Une fonction ça peut être vu comme une machine qui reçoit des "X" et qui renvoie des "Y". La fonction a un mode d'emploi, elle a un fonctionnement qui lui est particulier et ce fonctionnement est illustré par la forme algébrique de la fonction. Elle peut être représentée graphiquement sur un plan dont l'axe horizontal correspond à ce qui rentre dans la fonction, et l'axe vertical correspond à ce qui sort de la fonction et sur lequel toutes les combinaisons de ce qui rentre dans la fonction et ce qui sort de la fonction seraient représentées.
Des fonctions, il en existe plein. Ici, on a illustré "F(x) = 2X", qui est une fonction assez classique et c'est une fonction qui est linéaire. Elle a la forme d'une ligne et son expression algébrique prend la forme d'un polynôme du premier degré (fonction rouge). Ici, il n'y a pas de "X2", il n'y a pas de "X3", ce sont simplement des"X". Il existe aussi des fonctions qu'on appelle des fonctions quadratiques. Ce sont des fonctions qui prennent la forme d'une parabole, et l'expression algébrique de cette fonction, ce sont des expressions algébriques du deuxième degré (fonction violette). Par exemple : "F(x) = 2X2 - 4". Il existe aussi des fonctions qu'on appelle des fonctions exponentielles. Ce sont des fonctions qui montent très lentement au début et puis qui montrent très très vite par exemple "F(x) = eX" ( fonction bleu). Il existe des fonctions, qu'on appelle des fonctions logarithmiques. Ces fonctions se représentent comme la fonction orange sur l'image. Et elles prennent comme forme algébrique "F(x) = log (x)". Et enfin, il existe des fonctions qui sont des fonctions trigonométriques. Il y a les sinus, les cosinus. Tout ça, c'est des termes que vous avez peut-être déjà vu en trigonométrie et ça peut aussi être représenté par des fonctions. Par exemple, ici, la fonction sinus, elle peut être représentée comme la fonction verte. La forme algébrique de cette fonction, ce serait "F(x) = sinus (x)".
En réalité, des fonctions, il en existe une infinité. Il existe des fonctions qu'on appelle des fonctions quelconques qui ne répondent à aucun schéma classique. Mais bon, ça c'est du domaine de l'analyse. Ce qu'il est important de garder à l'esprit, c'est que toutes ces fonctions peuvent être représentées graphiquement. Au final, elles ne sont que l'illustration du fonctionnement interne d'une machine qui reçoit des "X" et qui renvoie des "Y".
On a vu qu'une fonction, ça pouvait être interprété de trois manières différentes. Ça peut être vu comme une machine, ça peut être vu comme une formule algébrique et ça peut être vu comme une courbe que l'on représente sur un plan.
