Cube d'une somme et autres identités remarquables

Comprendre le cube d'une somme et connaître d'autres identités remarquables

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C'est quoi le cube d'une somme ?

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Nous allons maintenant nous intéresser à des identités remarquables un peu plus compliquées. Ce sont des identités remarquables qui impliquent des cubes. Nous avons "(A+B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³". Ici encore, on peut se poser la question "pourquoi est-ce que cette formule est correcte ?". Et ici encore, on va la démontrer de deux façons.

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La première, c'est algébriquement. Nous pouvons écrire "(A+B)^3" de deux façons : "(A+B)*(A+B)*(A+B) ou (A+B)²*(A+B)". Pour le deuxième, nous remarquons que nous retrouvons le carré d'une somme, dont nous connaissons la formule par cœur ! En l'effectuant nous obtenons : "(A²+2AB+B²)*(A+B)". On est maintenant face à une sorte de triple distributivité qu'on peut également effectuer, nous obtenons donc : "A³ + A²B + 2A²B + 2AB² + AB² + B³". On se rend compte qu'il y a des parties littérales qui sont communes et qu'on peut additionner. Ce qui nous donne : "A³ + 3A²B + 3AB² + B³". Vous remarquerez que nous obtenons la réponse de départ! L'identité remarquable est donc démontrée.

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Cette identité remarquable, elle est un peu difficile à démontrer visuellement. C'est possible si l'on commence à jouer avec des cubes et des parallélépipède rectangle, mais c'est une démarche assez compliquée. On va donc s'en tenir à la démonstration algébrique.

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D'autres identités remarquables ?

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Alors il existe aussi d'autres identités remarquables qui impliquent aussi des cubes (image) et idéalement, ce sont des identités qu'il faut connaître par cœur.

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